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高一数学苏教版教案第五章---复*二--实数与向量的数量积(续)

发布时间:

第二十三教时

教材:复*二——实数与向量的数量积(续)

目的:继续复*有关知识,提高学生数形结合、解决实际问题的能力。

过程:

一、 继续复*实数与向量的积、向量共线的充要条件、*面向量的基本定理——

*几问题

1. 如图:已知 MN 是△ABC 的中位线,

A

求证:MN= 1 BC, 且 MN∥BC

2

N

证:∵MN 是△ABC 的中位线,

∴ AM 1 AB, AN 1 AC

BM

2

2

C

∴ MN AN AM 1 AC 1 AB 1 (AC AB) 1 BC

2

2

2

2

∴MN= 1 BC, 且 MN∥BC 2
2. 证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

证:设 AC = b, CB = a,则 AD = AC + CD = b+ 1 a, EB EC CB = 2

∵A, G, D 共线,B, G, E 共线

A

∴可设 AG =λ AD , EG = μ EB ,

则 AG =λ AD =λ(b+ 1 a)=λb+ 1 λa,

2

2

F G

EG = μ EB = μ( 1 b+a)= 1 μb+μa,

2

2

B

D

∵ AE EG AG

即: 1 b + ( 1 μb+μa) =λb+ 1 λa

22

2

∴(μ 1 λ)a + ( 1 μλ+ 1 )b = 0

2

2

2

∵a, b 不*行,









1





1 2



1

0

0







2
3 1



AG



2 3

AD

2

2

3

即:AG = 2GD 同理可化:AG = 2GD , CG = 2GF

E C

3. 设 AB = 2 (a+5b), BC =2a + 8b, CD =3(a b),求证:A,B,D 三点共 2
线。

证: AD = AB + BC + CD = 2 (a+5b) + ( 2a + 8b) + 3(a b) 2

= (1+ 2 )a + (5 + 5 2 )b = (1+ 2 )(a + 5b)

2

2

2

而 AB = 2 (a+5b) 2

∴ AD = ( 2 + 1) AB

又∵ AD , AB 有公共点 ∴A,B,D 三点共线 4. 求证:起点相同的三个非零向量 a、b、3a 2b 的终点在同一直线上。
证:依题意,可设 OA = a, OB = b, OC = 3a 2b

AB = OB OA = b a , AC = OC OB = 3a 2b a = 2(a b)

∴ AC = 2 AB 由于 AC , AB 起点均为 A,∴三点 A,B,C 共线, 即起点相同的三个非零向量 a、b、3a 2b 的终点在同一直线上 5. 已知:*面上三点 O、A、B 不共线,求证:*面上任一点 C 与 A、B
共线的充要条件是存在实数λ和 μ,使 OC =λ OA + μ OB ,且λ+ μ = 1。

证:必要性:设 A,B,C 三点共线,则可设 AC = t AB (tR)

则 OC = OA + AC = OA + t AB = OA + t( OB OA ) = (1t) OA + t OB 令 1t =λ,t = μ,则有: OC =λ OA + μ OB ,且λ+ μ = 1

充分性: AC = OC OA =λ OA + μ OB OA = (λ1) OA + μ OB

= μ OA + μ OB = μ( OB OA ) = μ AB

∴三点 A、B、C 共线

6. 某人骑车以每小时 a 公里的速度向东行驶,感到风从正东方向吹来,

而当速度为 2a 时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向。

解:设 a 表示此人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量,

无风时此人感到风速为a,

P

设实际风速为 v, 那么此时人感到的风速为 v a,

v2a

v

设 OA = a, OB = 2a

B

A

O

∵ PO + OA = PA ∴ PA = v a,这就是感到由正北方向吹来的风速,

∵ PO + OB = PB ∴ PB = v 2a,于是当此人的速度是原来的 2 倍时

所感受到由东北方向吹来的风速就是 PB ,

由题意:PBO = 45, PABO, BA = AO 从而,△POB 为等腰直角三角形,∴PO = PB = 2 a 即:|v | = 2 a
∴实际风速是 2 a 的西北风 二、 作业: 《导学?创新》 §5.3




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