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2019届安徽省黄山市高三第一次质量检测(一模)数学(文)试题(PDF版)

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黄山市 2019 届高中毕业班第一次质量检测

数学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 90 分)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分 钟. 注意事项: 1.答题前,务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条 形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号 后两位. 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰. 作图 题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号 所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效 . ...........................

?? 4. (参考公式: b

?x y
i ?1 n i

n

i 2

? nx ? y ? nx 2

?x
i ?1

?x ) ? ? y ?b ,a

i

第Ⅰ卷(选择题

满分 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 请在答题卷的相应区域答题 ) ............ 1.设集合 A ? ?0,2,4,6,8,10?, B ? x 2 x ? 3 ? 4? ,则 A ? B ? A.

?

?4, 8?
1 ? 3i 3 ?i

B.

?0,2, 6?

C.

?0, 2?

D.

?2,4, 6?

2.已知复数 z ? A. ? 1

,则 z 的实部为 B. 0 C. 1 D. 3

3.为比较甲,乙两地某月 14 时的气温,随机选取该月中的

5 天,将这 5 天中 14 时的气温数据(单位:℃)制成如
页 1第

图所示的茎叶图,考虑以下结论:①甲地该月14 时的* 均气温低于乙地该月 14 时的*均气温;②甲地该月 14 时 的*均气温高于乙地该月 14 时的*均气温;③甲地该月

14 时的气温的中位数小于乙地该月 14 时的气温的中位数;④甲地该月14 时的气温的中
位数大于乙地该月 14 时的气温的中位数.其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

4.广东省 2018 年新高考方案公布,实行“ 3 ? 1 ? 2 ”模式,即“ 3 ”是指语文、数学、外语必考,“1 ” 是指物理、历史两科中选考一门,“ 2 ”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门,在所有选项 中某学生选择考历史和化学的概率为 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

5.如图所示为某几何体的三视图,正视图是高为 1,长为 2 的 长方形;侧视图是高为 1,底为 等腰三角形,则几何体的体积为 A.

3 的直角三角形;俯视图为 2 3 2

1 2

B. 1

C.

D. 3

? x ? y ? ?1 ? 6.若实数 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? 3 y ? y ? ?1 ?
的最大值是 A. ? 7 B. 1 C. 3 D. 5

7. G为?ABC的重心,若 AG ? m AB ? n AC ,则 m ? n 的值为 A. 1 B.

1 2

C.

1 3

D.

2 3

8.当输入 a 的值为 16 , b 的值为 12 时,执行如图所示的 程序框图,则输出的 a 的结果是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

9.函数 f ( x) ? 2 sin( 3x ?

?

? 7? ? ? ,? ) ,当 x ? ?? 时, 3 ? 18 36 ? ?

f ( x ) 的值域是



2第

A. ?? 1,

? ?

2? ? 2 ?

B. ??

? 1 3? , ? 2 2 ? ?

C. ? 2, 2

?

?

D. ? 1, 2

?

?
sin 2C ? ? 1 , B ? ,则 1 ? cos 2C 6

10. 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,且 b ? 2 ,

a 的值为
A.

3 ?1

B. 2 3 ? 2
2

C. 2 3 ? 2

D.

6? 2

11.函数 y ? ln x ? 1 ? ( x ? 1)

的图象大致为

y

y

y

1

1 1
x o

1 1
x

1 1 x

o

o

o

1

x

A.

B.

C.

D.

x x 12.若函数 f ( x) ? 4 ? m ? 2 ? m ? 3 有两个不同的零点 x1 , x2 ,且 x1 ? (0,1) , x2 ? (2,??) ,则实数 m

的取值范围为 A. (??,?2) B. (??,?2) ? (6,??) C. (7,??) 满分 90 分) D. (??,?3)

第 II 卷(非选择题

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请在答题卷的相应区域答题 .) ............ 13. cos 346 ? cos 419 ? sin 14 ? sin 121 ?
? ? ? ?

. .

14.点 A(3,2) 是圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9 内一点,则过点 A 的最短弦长为
2 2

15.点 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,过点 F 且倾斜角为
2

? 的直线与抛物线交 A , B 两点, 3

则弦长 AB ?


x ?1

16.设定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ?( x) ? f ( x) ,则不等式 e
页 3第

f ( x) ? f (2 x ? 1) 的解为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请在答题卷的相应 ........ 区域答题 .) .... 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?是公比大于 1 的等比数列, S n 是 ?a n ? 的前 n 项和.若 a 2 ? 4, S 3 ? 21 . (Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? log 4 a n ?1 ,求数列 ?

? 2 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn bn ?1 ?

18. (本小题满分 12 分) 某景区对 2018 年 1-5 月的游客量 x 与利润 y 的统计数据如下表: 月份 游客量 x (万人) 利润 y (万元) 1 4 19 2 6 34 3 5 26 4 7 41 5 8 45

?x ? a ? ?b ?; (Ⅰ)根据所给统计数据,求 y 关于 x 的线性回归方程 y
(Ⅱ)据估计 6 月份将有 10 万游客光临,请你判断景区*肽甑淖芾竽芊裢黄 220 万元? (参考数据:

?x y
i ?1 i

5

i

? 1057 , ? xi2 ? 190 )
i ?1

5



4第

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? *面ABC , PA ? 3, AB ? BC ? 4 ,其体积

VP ? ABC ? 4 3
(Ⅰ)求 AC 长; (Ⅱ)在线段 ..PB 上是否存在点 Q ,使得 CQ ? AB ?若存在,请找出并给予证明;若不存在,请说明理 由. P

C B

A

20. (本小题满分 12 分)

设椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以线段 F1 F2 为直径的 a2 b2

圆与直线 l : ax ? 2by ? 3ab ? 0 相切,若直线 l 与椭圆交于 P, Q 两点,坐标原点为 O . (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若 OP ? OQ ? 3 ,求椭圆的方程.



5第

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? e 2 ?

1 ln x ( e 为自然对数的底数). ? e x

(Ⅰ)当 a ? e 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程; (Ⅱ)证明:当 a ? e 时,不等式 x 3 ? 2ax 2 ? ln x ? (e 2 ? ) x 成立.

1 e

考生注意:请在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 作答时,请用 2B 铅笔 在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4―4:坐标系与参数方程 已知*面直角坐标系 xOy ,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 过点 P (?1,2) ,且倾斜角为

2? ? ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos(? ? ) . 3 3

(Ⅰ)求圆 C 的普通方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 交于 M、N 两点,求|PM||PN|的值.



6第

23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 2 ? m (m ? R ). (Ⅰ)若 m ? 1 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 有三个零点,求实数 m 的取值范围.



7第

黄山市 2019 届高中毕业班第一次质量检测

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.C 9.C 10.D 11.B 12. C

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)

13.

2 2

14.

2 7

15.

16 3

16.

(1,??)

三、填空题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本大题满分 12 分)

?a1q ? 4 ? 解:Ⅰ由题意,设公比为 q( q > 1) ,则 ? a1 1 ? q3 ? 1 ? q ? 21 ?

?

?

…………………………2 分

?a ? 16 ?a1 ? 1 ? 1 解得 ? 或? 1 (舍) ? q ? 4 ?q ? 4 ?
所以 an = 4n - 1

…………………………………………………………5 分

………………………………………………………………………………6 分

Ⅱ由题意, bn = log4 4n = n , 所以 所以 Tn = b1 + b2 + b3 + b4 +

2 2 1 1 = =( 2 ) bn bn+1 n(n +1) n n +1

……………9 分

+ bn- 1 + bn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + - + - + - + + - + ) 2 2 3 3 4 4 5 n - 1 n n n +1 1 2n 2 1) =( = ………………………………………………………12 分 n +1 n +1 2 1=(
18. (本大题满分 12 分) 解:Ⅰ? x ? 6, y ? 33

?? b

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

5

?x
i ?1

5

?

2 i

? nx

2

1057 ? 5 ? 6 ? 33 ? 6.7 190 ? 5 ? 36

5分

? ? 33 ? 6.7 ? 6 ? ?7.2,? y ? ? y ? bx ? ? 6.7 x ? 7.2 a
页 8第

7分

(Ⅱ) 当x ? 10时, y ? ? 6.7 ?17 ? 7.2 ? 59.8 *肽昃扒芾笪 19 ? 34 ? 26 ? 41 ? 45 ? 59.8 ? 224.8 ? 220 万元 据估计*肽曜芾蟠笤 能超过 220 万元. .. 19. (本大题满分 12 分) 解: (I) 在三棱锥P ? ABC中

9分

…………………………………12 分

1 PA ? *面ABC ,?V ? S?ABC ? PA, ? S?ABC ? 4 3 3 在?ABC中, AB ? BC ? 4, S?ABC ? 4 3, 1 3 ? 2? AB ? BC ? sin B, ? sin B ? , B ? 或B ? 2 2 3 3 ? 2? 当B ? 时, AC ? 4; 当B ? 时, AC ? 4 3 3 3 S?ABC ?
(Ⅱ)

2分

4分 6分

当B ?

2? 时, 在线段PB上不存在点Q (存在线段PB延长线上), 3 使得CQ ? AB

7分 8分

当B ?

时, AC ? BC ? 4,Q为PB的中点 3 取AB中点D, 连QD, 则QD / / PA, ? QD ? AB

?

AC ? BC,D为AB中点. 12分

? CD ? AB.? AB ? *面CQD,? AB ? CQ
20. (本大题满分 12 分)

?圆O : x ? y ? c ,?圆O与l : ax ? 2by ? 3ab ? 0相切. (Ⅰ)? F1 F2 ? 2c,
2 2 2

?d ?

? 3ab a 2 ? 4b 2

? c, b2 1 2 ? , ? e? 2 a 2 2

3分 5分

? a 2 ? 2b 2 ,

e2 ? 1 ?

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆的交点为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ),

? OP ? OQ ? x1 x 2 ? y1 y 2 , a ? 2b,? 直线l : x ? 2 y ? 3b ? 0,
? ? x ? 2 y ? 3b ? 0 椭圆 : x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 ? 0, 联立直线l与椭圆方程, 得 : ? 2 2 2 ? ? x ? 2 y ? 2b ? 0
消去x得 : 4 y 2 ? 2 6by ? b 2 ? 0, ? y1 ? y2 ?


6 1 b, y1 y2 ? b 2 2 4
9第

9分

x1 x2 ? y1 y 2 ? (? 2 y1 ? 3b)(? 2 y 2 ? 3b) ? 3 y1 y 2 ? 6b( y1 ? y 2 ) ? 3b 2 ? 3 ? b 2 ? 3, 4 ? b ? 4, a ? 8,
2 2

3 2 b , 4

x2 y2 ? ? ? 1. 8 4

???????12分

21. (本大题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意知,当 a = e 时, f x = x 2 - 2ex + e2 + 解得 f ( e) = 0 ,又 f ' ( x ) = 2 x - 2e -

( )

1 ln x e x

1 - ln x , x2

…………………………… 3 分 …………5 分

k = f ' (e) = 0 ,即曲线 y ? f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程为: y = 0
Ⅱ证明:当 a ? e 时,得 ? 2ax 2 ? ?2ex 2 要证明不等式 x 3 ? 2ax 2 ? ln x ? ? e 2 ?

…………………………………………6 分

? ?

1? ? 2 1? 3 2 ? x 成立,即证 x ? 2ex ? ln x ? ? e ? ? x 成立 e? e? ?

即证 x 2 ? 2ex ?

1 ln x ln x ? 2 1 ? 成立 …………8 分 ? ? e ? ? 成立,即证 x 2 ? 2ex ? e2 ? ? x ? e? e x 1 e 1 ln x ( x > 0) ,易知, g ?x ? ? g ?e ? ? x e
……9 分

令 g ( x ) = x 2 - 2ex + e2 + , h( x ) = 由 h' ( x) =

1 1 - ln x ,知 h ( x ) 在 (0, e) 上单调递增, ?e,??? 上单调递减, h?x ? ? h?e ? ? 2 x e

所以 g ?x ? ? h?x ? 成立,即原不等式成立. ………………………………………………12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)? ? ? 2 cos(? ?

?
3

),

? ? 2 ? ? ? cos ? ? 3? ? sin ?

?圆C的方程为 : x 2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0
1 ? x ? ?1 ? t ? 2 ? 直线l的参数方程为 : ? (t 为参数) ?y ? 2? 3 t ? ? 2
(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程,得:

??????????????3分

5分

1 3 2 1 3 (?1 ? t )2 ? (2 ? t ) ? (?1 ? t ) ? 3(2 ? t) ? 0 2 2 2 2 t 2 ? (3 ? 2 3)t ? 6 ? 2 3 ? 0,? t1t2 ? 6 ? 2 3,? PM ? PN ? 6 ? 2 3
23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)
页 10 第

7分 10分

??3 ? 当m ? 1时, f ( x) ? ?2 x ? 1 ?5 ? f ( x) ? 0, ?x ? ? 1 2

x ? ?2 ?2 ? x ? 2 x?2

3分

4分 5分

? 1? ? 不等式的解集为 ? x x ? ? ? 2? ?
(Ⅱ)

若函数g ( x) ? f ( x) ? x有三个零点, 只须 : ?m ? 4 ? f ( x) ? ?2 x ? m ?m ? 4 ? ?m ? 4 ? ?2 ?? , ?m ? 4 ? 2 x ? ?2 ? 2 ? x ? 2 与y ? x有三个交点即可 x?2 7分

只须y ? f ( x)的两个分段点位于y ? x的两侧即可. ??2 ? m ? 2 10分



11 第




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